Merhaba saygideger gencler,
Elektronik ve haberlesme muhendislerinin onune sicak haliyle sunulan ve sogumasi beklenmeden yenen, dolayisiylada agizlari yakan bir kavram: konvulusyon hakkinda konusalim birazda. Ancak oncesinde birkac hatirlatma yapalim. Birim impuls fonksiyonu hakkinda daha once yazmistim. Haberlesmede veya kullandigimiz devrelerde impuls cevabi diye bir kavram vardir. Isminden de anlasilacagi gibi bu kavram bir harekete cevaptir, karsiliktir. Daha acik olmak gerekirse impuls cevabi bir sisteme birim impuls darbesi verdiginizde (giris olarak) alacaginiz cikistir. Seklen gosterelim;
Yukarida ki sekilde sisteme (biz daha cok bunu bir kanal olarak algilayalim keza bakir kablo,fiberoptik kablo, hava neyin olabilir.) Bu birim impulsu kanala verdigimizde elde ettigimiz kanal cikisi bize kanalin karakteristigi ile ilgili bilgi verir. Ornegin bir kutunun solundan bir kagit koyup sagindan almak isteyelim. Kagidi koyduktan sonra aldigimizda bir de bakiyoruz ki kagit islanmis. O zaman ne deriz kutunun icinde sivi bir madde var deriz. Gordugunuz gibi kagit kutu hakkinda bize bir fikir verdi ve boylece bir daha ki sefere ayni kutuya kagidi naylon poset ile koyariz. Iste h(t) ile gosterdimiz impuls cevabi bize kanalin zaman domenindeki karakteristigi ile bilgi verir. Eger frekans domeninde calisiyorsak h(t) nin Fourier transformunu aliriz ve kanalin hangi frekans araliklarina nasil tepki verdigini gorebiliriz.
δ(t – τ) bize birim basamak fonksiyonunun t = τ da 1 degerini aldigini geri kalan her yerde ise 0 (sifir) oldugunu gosteriyor. Oyleyse sisteme ya da kanala t aninda degilde t – τ aninda birim impuls verirsek cikistada h(t – τ) yu gozlemleriz. Neden? Cunku t nin τ dan farkli oldugu her zaman araliginda h (impulse cevabi) 0 (sifir) olacaktir. Bunu da soyle gosterelim;
Peki kanala her zaman birim impuls mu verecegiz? Tabiiki hayir bir bilgi tasiyan bir dalgaformu verebiliriz. Mesela bir kare darbe ya da sinusoidal verebiliriz. Bu dalgaformuna u(t) diyelim. Bu u(t) nin t = τ aninda alacagi deger u(τ) ile gosterilir.
Yukaridaki sekilde gordugunuz gibi u(τ) yu kanala birim impulse ile verdigimizde alicida impulse cevabinin τ anindaki degeri ile carpimini elde ediyoruz. Simdi her iki tarafinda integralini dt zaman sabitine gore –∞ dan +∞ a kadar alirsak ve δ(t – τ) = δ(τ – t) esitligini goz onune alirsak sunu elde ederiz;
Birim impulsla ilgili yazimda eleme ozelliginden bahsetmistim. Hatirlatma acisindan tekrar vereyim;
Dolayisiyla kanala verdigimiz girisi u(t) ile gosterebiliriz. Ustteki sekli onun ustundeki seklin sol tarafinin nasil u(t) olacagini gormeniz acisindan verdim. Son haliyle artik;
sekilde de goruldugu gibin kanal cikisi icin iki farkli kalbe ancak ayni ruha sahip integral soz konusudur. Bu integrallere konvolusyon integrali denmektedir. Bu integraller bize su atasozunu hatirlatmaktadir;
Bana kanal impulse cevabini soyle sana cikisin ne oldugunu soyleyeyim!
Konvolusyonun genel gosterimi u(t)*h(t) ya da h(t)*u(t) seklindedir. Aradaki isaret carpi degil yildizdir.
Devam edecek...
Kaynak: Signals and Systems with Matlab Computing and Simulink Modeling Steven T. Karris
