Konvolusyon (Convolution)

   Merhaba saygideger gencler,

  Elektronik ve haberlesme muhendislerinin onune sicak haliyle sunulan ve sogumasi beklenmeden yenen, dolayisiylada agizlari yakan bir kavram: konvulusyon hakkinda konusalim birazda. Ancak oncesinde birkac hatirlatma yapalim. Birim impuls fonksiyonu hakkinda daha once yazmistim. Haberlesmede veya kullandigimiz devrelerde impuls cevabi diye bir kavram vardir. Isminden de anlasilacagi gibi bu kavram bir harekete cevaptir, karsiliktir. Daha acik olmak gerekirse impuls cevabi bir sisteme birim impuls darbesi verdiginizde (giris olarak) alacaginiz cikistir. Seklen gosterelim;

Yukarida ki sekilde sisteme (biz daha cok bunu bir kanal olarak algilayalim keza bakir kablo,fiberoptik kablo, hava neyin olabilir.) Bu birim impulsu kanala verdigimizde elde ettigimiz kanal cikisi bize kanalin karakteristigi ile ilgili bilgi verir. Ornegin bir kutunun solundan bir kagit koyup sagindan almak isteyelim. Kagidi koyduktan sonra aldigimizda bir de bakiyoruz ki kagit islanmis. O zaman ne deriz kutunun icinde sivi bir madde var deriz. Gordugunuz gibi kagit kutu hakkinda bize bir fikir verdi ve boylece bir daha ki sefere ayni kutuya kagidi naylon poset ile koyariz. Iste h(t) ile gosterdimiz impuls cevabi bize kanalin zaman domenindeki karakteristigi ile bilgi verir. Eger frekans domeninde calisiyorsak h(t) nin Fourier transformunu aliriz ve kanalin hangi frekans araliklarina nasil tepki verdigini gorebiliriz.

δ(t – τ) bize birim basamak fonksiyonunun t = τ da 1 degerini aldigini geri kalan her yerde ise 0 (sifir) oldugunu gosteriyor. Oyleyse sisteme ya da kanala t aninda degilde t – τ aninda birim impuls verirsek cikistada h(t – τ) yu gozlemleriz. Neden? Cunku t nin τ dan farkli oldugu her zaman araliginda h (impulse cevabi) 0 (sifir) olacaktir. Bunu da soyle gosterelim;

Peki kanala her zaman birim impuls mu verecegiz? Tabiiki hayir bir bilgi tasiyan bir dalgaformu verebiliriz. Mesela bir kare darbe ya da sinusoidal verebiliriz. Bu dalgaformuna u(t) diyelim. Bu u(t) nin  t = τ  aninda alacagi deger u(τ) ile gosterilir.

Yukaridaki sekilde gordugunuz gibi u(τ) yu kanala birim impulse ile verdigimizde alicida impulse cevabinin τ anindaki degeri ile carpimini elde ediyoruz. Simdi her iki tarafinda integralini dt zaman sabitine gore –∞ dan +∞ a kadar alirsak ve δ(t – τ) = δ(τ – t)  esitligini goz onune alirsak sunu elde ederiz;

Birim impulsla ilgili yazimda eleme ozelliginden bahsetmistim. Hatirlatma acisindan tekrar vereyim;

 

Dolayisiyla kanala verdigimiz girisi u(t) ile gosterebiliriz. Ustteki sekli onun ustundeki seklin sol tarafinin nasil u(t) olacagini gormeniz acisindan verdim. Son haliyle artik;

           

sekilde de goruldugu gibin kanal cikisi icin iki farkli kalbe ancak ayni ruha sahip integral soz konusudur. Bu integrallere konvolusyon integrali denmektedir. Bu integraller bize su atasozunu hatirlatmaktadir;

 Bana kanal impulse cevabini soyle sana cikisin ne oldugunu soyleyeyim!

Konvolusyonun genel gosterimi u(t)*h(t) ya da h(t)*u(t) seklindedir. Aradaki isaret carpi degil yildizdir.

  Devam edecek...

Kaynak: Signals and Systems with Matlab Computing and Simulink Modeling Steven T. Karris

Analog vs Digital 2

    Analog vs Digital konusuna devam ediyoruz...

  Evet nicemleme sonucu bir kayıp oluşuyor ancak bazı kriterleri yerine getirdiğimizde bu kayıptan ihmal edilebilecek kadar sıyrılabiliyoruz. Bunların hepsine ileride yazacağım sayısal haberleşme yazılarımda değineceğim. Ancak alıcıda mesaj sinyalinin kestirimi yazmamıza sebep olan durumlardan biriside bu nicemleme kaybı ya da nicemleme gürültüsü dediğimiz hadisedir. Analogtan dijitale dönüşümde bir sonraki adım ise kodlamadır. Nicemleme sonucu oluşan seviyeleri belli bir algoritma ile bit dizisine çeviririz. Bu işlemler sonucunda artık elimizde "discrete time" dediğimiz ayrık zamanlı bir bilgi bulunmaktadır. Bu bit dizisini modüle edip direkt kanala verebiliriz ya da üzerinde bazı işlemler yapabiliriz. Neler yapabiliriz peki?

  Mesela fazlalıkları atabiliriz. Bunu şöyle örneklendireyim. Mesela elimizde bir bilgi var ve bu bilginin dijital dönüşümü olarak elde ettimiz 0100110 şeklinde bir dizi var. Enformasyon teorisini kullanarak bu bilgi için gereken ölçüyü alırız ve bu diziden ölçtüğümüz değerin dışında kalan fazlalığı atarız. Buna da "source coding" yani kaynak kodlama diyoruz. Pek anlayamadığınızı hissediyorum ancak fazlalığı attığımızı, sıkıştırma yaptığımızı bilin, bu konuya da ilerleyen zamanlarda detaylı değineceğim. Şu an konumuz bu değil.

 

  Yapabileceğimiz diğer bir işlem ise "channel encoding" yani kanal kodlama diyoruz. Kanal kodlama da ise bit dizisine bir fazlalık atarız. Peki bu fazlalığı neden atarız? Cevap: Kanaldan ya da iletim sırasında ki herhangi bir durumdan kaynaklanan gürültünün etkisini azaltmak için. Buna da şöyle bir örnek vereyim, Diyelimki duvara sert bir yumruk atacaksınız ancak elinizde çok ince bir eldiven var. Bu durumda eliniz baya bir tahrip olacaktır ancak eldivenin kalınlığını arttırırsanız eliniz daha az tahrip olur. Umarım bu örnek siz sevgili okurlarıma bir fikir vermiştir.

  

   Şimdi analog ile dijital haberleşmeyi karşılaştıracak olursak, anladığınız üzere dijital ya da sayısal dediğimiz haberleşme sisteminde baya bir karmaşık elektronik devre gereksinimi vardır. Ancak bu günümüz teknolojisinde sorun değildir. Çünkü silikon çiplerin kullanıldığı VLSI (very large scale integrated) devreleri üzerinde bu işlemleri yapmamıza olanak sağlamaktadır ve ayrıca maliyeti ise çok fazla değildir (birazcık fazladır:)). Hakkaten de yarı iletken teknolojisinin gelişmesiyle birlikte sayısal haberleşme, analog haberleşmeden daha maliyet-verimlidir.

  

  Haberleşmenin bir de tipi vardır arkadaşlar. Örneğin bir sinyal bir vericiden bir çok alıcıya yayın yapabilir ki buna "broadcasting" denir. Bu durumda bilgiyi taşıyan sinyal sadece tek yönlüdür yani alıcılardan vericilere doğru bir kanal yoktur. Televizyon ve radyo yayınları böyledir mesela. Diğer bir tip ise sadece bir tane alıcının ve birden çok vericinin olduğu durumdur. Bu durumda vericiler aynı alıcıya bilgi taşıyan sinyali gönderirler. Bunada "Multi access" yani çoklu erişim diyebiliriz. Buna örnek olaraksa bir mobil hücrede kullanıcılardan yani cep telefonlarından baz istasyonuna olan akışı gösterebiliriz. Bir diğer tip ise noktadan noktaya dediğimiz "point to point" haberleşmedir. Burada bir verici ve bir alıcı arasında karşılıklı bilgi alışverişi yapılabilmektedir. 

  

   Yukarıda ki resimde ki robotun adı "Pathfinder" yani yol bulucudur. Bu robot NASA tarafından tam Amerika nın bağımsızlık günü (bizim cumhuriyet bayramı gibin) olan 4 Temmuz da Mars a araştırma ve incelemeler yapılmak üzere indirildi. Bu robot Nasa nın yeryüzünde ki birimiyle point to point haberleşme yapar. Mars ile dünya arasında baya bi uzaklık var. Bu tarz bir uzaklık için de en uygun haberleşme çeşidi sayısal haberleşmedir. Aşağıda ki resimde de bu robota direktif gönderen ve bilgi alan Nasa nın Avustralya nın Canberra şehrinde bulunan, 70 metre çapında  (aynen öle) halk diliyle çanak, jargonda parabolik reflektör antenini görüyorsunuz. Vay anasını demi :)) Bu anten aynı zamanda Nasa nın uzayda faaliyet gösteren robotik birimleriyle haberleşmek için kullandığı antenidir. Sadece pathfinder için kullanılmıyor yani. 

  

      Bugünlük bu kadar arkadaşlar. Bilmeniz gereken şu; evet dijital haberleşme biraz daha pahalı olabilir ama size muhteşem ekstralar sunar. Örneğin sinyal işleme dediğimiz kavram analog haberleşme de çok kısıtlıdır ancak sayısalda çok geniş imkanlar sunar. Sinyalinize takla attırır hatta amuda bile kaldırttırırsınız. Ayrıca sinyal işleme ile işaretinizi gürültüye daha dayanıklı hale de getirebilirsiniz.

 Kalin saglicakla...

 Kaynak: Signals and Systems, 2nd edition. Simon Haykin, Barry Van Veen

 Pathfinder Picture: http://64.202.120.86/upload/image/articles/2007/phoenix/mars-pathfinder.jpg

 Gigantic :) antenna : http://grin.hq.nasa.gov/IMAGES/LARGE/GPN-2000-000502.jpg