Bu yazımda daha çok örnekleme yaptığımız durumlarda, yani sürekli bir olay içerisinden bir değeri çekip almak istediğimizde kullandığımız birim impuls fonksiyonunu inceleyeceğiz. Ne demek istediğimi anlayacaksınız. Hemen başlayalım...
Öncelikle bu fonksiyonun matematiksel resmi, δ(t) şeklindedir. Bu fonksiyon t=0 durumunda sonsuz genlikli bir değer alırken diğer her t değerinde sıfır (0) dır. Bu durumu şu şekilde gösterebiliriz
Birim impuls fonksiyonu aynı zamanda birim basamak fonksiyonunun türevidir. Şimdi Steven amcam bu fonksiyonu daha iyi anlamamız için şöle anlatmış hemen bende size nakledeyim.
Bu yukarıda ki şeklin a kısmında ε değeri sıfıra yaklaştıkça, şekil birim basamak fonksiyonu şekline geliyor. b deki şekil ise a da ki şeklin türevidir. ε → 0 a gittikçe, 1⁄2ε değeri sınırsızlaşıyor yani yukarı doğru çıkıyor ancak alanı hep sabit, yani 1 kalıyor. Bu sebepten ötürüdür ki limit açısından düşündüğümüz de, δ(t) orijin noktasında genliği sonsuz, genişliği sıfır ve alanı 1 olan çok büyük bir impulse şekline dönüşüyor. Birim impuls fonksiyonunun çok kullanışlı iki özelliği vardır. Bunlardan biri örnekleme ve diğeri eleme (unu elekte elemek gibi) özelliğidir.
Birim impulse fonksiyonunun örnekleme özelliğinden önce şunu iyi anlamamız lazım arkadaşlar. δ(t–a) bize ne demek istiyor. Bu ifade t-a=0 yani t=a da birim impulse fonksiyonunun 1 olduğunu diğer bütün noktalarda ise 0 olduğunu belirtiyor. Dolayısıyla, eğer;
f(t)δ(t–a)
biçiminde bir ifadenin t=a da değer alacağını ve diğer bütün t değerlerinde 0 değerini alacağını görebilmemiz gerekir. O zaman madem t=a da bu ifade değer alıyor ve birim impulsun değeri 1, o zaman bu değer f(.) nin t=a da ki değerini alacaktır, yani f(a) olacaktır. Bu durumda
f(t)δ(t–a) = f(a)δ(t)
şeklinde olacaktır ve bu birim impulsun örnekleme özelliğidir. Diğer bir değişle, f fonksiyonundan t=a anında bir örnek aldığımızı göstermek için f(t)δ(t–a) ifadesini kullanırız. a=0 olduğunda bu ifade
f(t)δ(t) = f(0)δ(t)
biçimine gelir. İlerleyen yazılarımda bahsedeceğim ayrık zamanlı sistemleri tanımlamak için de hep bu gösterimi kullanacağız, aklınızda bulunsun, önemsiz deyip geçmeyin lütfen. Ayrıca bu özelliğin birde ispatı var. Eğer ilgilenenler olursa mail atabilirsiniz ya da yorum yazarak ilginizin çeşidini ifade edebilirsiniz.
Diğer özelliğimiz eleme özelliği ise şöyledir; herhangi bir fonksiyonu diyelim ki f(t) olsun, δ(t – α) değeri ile çarpar ve
–∞ dan +∞ a kadar integralini alırsak f fonksiyonunun t=α da ki değerini elde etmiş oluruz.
Gene bunun da ispatıyla ilgilenirseniz bağlantı kurabilirsiniz. Birim impuls la ilgili bir kaç örnek çözelim ve daha sonrasında hem birim basamak hem de birim impulsu içeren bir örnek çözecez ve bu yazıyı sonlandıracağız.
Yukarıda ki 2 şıkta ki ifadelerin sonuçlarını elde edeceğiz. Öncelikle a şıkkına bakalım arkadaşlar. a şıkkında birim impulse fonksiyonu t-1 biçiminde. Yani t-1=0, t=1 de değer alıyor diğer her yerde 0 olacak. Örnekleme özelliğimizden, f(t) miz 3 t üzeri 4. Hatırlarsanız, f(t)δ(t–a) = f(a)δ(t) dı. Bizim örneğimizde a=1. O zaman ifademiz
biçiminde olacaktır. b şıkkında ise az önce anlattığımız eleme özelliği söz konusudurç Burada α=2 değerini almış ve f(t)=t olduğuna göre demekki eleme özelliğinden sonuç f(2) olacak yani f(t)=t den f(2)=2 olacaktır. Gördüğünüz gibi çok basit. Şimdi öğrendiğimiz her iki fonksiyonu da kullanarak bir örnek yapalım. Aşağıdaki şekilde resmedilen sinyali önce birim basamak şeklinden daha sonra ise elde ettiğimiz sonucun türevini alalım bakalım be çıkıyor. Önce şekli görelim;
Buna benzer bir örnek daha önce çözmüştük hatırlarmısınız bilemem. Bu dalga formunu ya da sinyali her ne derseniz artık birim basamak biçiminden yazabilmemiz için öncelikle monoton olduğu yerlerde ayrı ayrı ele alıyoruz. Aralıklar ve denklemleri de şöyle gösterelim;
v(t) yi düzenlersek;
elde ederiz. Bu v(t) nin birim basamak fonksiyonu cinsinden gösterimidir. Bunun türevini alırsak birim impuls cinsinden elde edebiliriz. Türevini aldığımzda (t ye göre);
biçinde olur. Altında da bu ifadenin şekli resmedilmiştir. Şekilden de görebileceğiniz gibi t=-1 de negatif 2 şiddetinde bir impulse, t=2 ve t=7 de ise pozitif 1 şiddetinde 2 adet impulse oluşmuştır. Bu impulse lara sebep olan etmen ise bu noktalardaki süreksizliklerdir.
Bana müsade der gözlerinizden öperim. Bir sonraki yazımda bu 2 temek sinyalin Matlab komutlarını inceleyeceğiz. Şimdilik bu kadar. ciao ciao...
Kaynak: Signals and Systems with Matlab Applications Steven T. Karris
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder