Temel Sinyaller-Birim basamak

     Merhabalar herkese,

    Daha önceki konularda Matlab a giriş yaptık. Umarım bir sorun yoktur matlab la ilgili, zaten çok kolay. Önemli olan teoriyi anlamamız, matlab tarafı çok kek. Tabii matlabla yapabileceğimiz daha çok şey var ancak onları da zamanı gelince irdeleyeceğiz.Şimdi birkaç altbaşlıkla sinyallere bir giriş yapacağız. Haberleşme öğreneceksek önce sinyalleri bilmemiz gerekir, dolayısıyla bu da nerden çıktı demeyiniz lütfen. Şimdi aşağıda bir besleme kaynağı, bir direnç ve bir anahtardan oluşan bir devre var. Onu önce bir inceleyin bakalım.

   Şimdi bu devrede Vs devreye verilen gerilimin kaynağı (zamanla değişmeyen gerilim-DC), R direncimiz, anahtarımız var, bide devre çıkışında  Vout diye bir gerilim ölçüyoruz. t=0 anında anahtarı kapattığımızı düşünelim. Yani t=0 anına kadar devre akım akıtmayacaktır, açık devre durumundadır. Ancak anahtar kapandıktan sonra Vout da bir gerilim değeri oluşacaktır. Bu değerde Vs olacaktır. Bunları hepimiz biliyoruz zaten. o zaman Vout da ki gerilim zamana bağlı olarak aşağıda ki gibi olacaktır.

      Siz değerli arkadaşlarımında gördüğü gibi bu işaret t=0 anından önce 0 olacak yani olmayacak, var olmayacak ancak t=0 anından sonra zamanla değişmeyen bir işaret olacaktır. Devam edelim. Bu şekilde görülen işaret, sürekli zamanlı bir işarettir. Adında anlaşılacağı gibi sürekli, hiç değer almadığı bir zaman aralığı yok. O zaman diyeceksiniz ki t=0 dan önce hiç değer almamış. Öle değil işte, şunu demek istiyorum. Mesela başladığı noktadan sonra hiç durmamış, 0 olmamış. t=0 anında başlamış ve hep değer almış sonsuz kadar buraya dikkat edelim. Bu şekil size tanıdık geldi değil mi? İşte o şekil birim basamak fonksiyonuna ait! Hep u(t) ile gösterdik biz biraz daha farklı göstereceğiz; şöyleki;

                                                                                           

  t=0 sinyalimiz için referans noktamız. örneğin sinyalimiz t=4 anında da başlamış olabir. o zaman sinyalimizin zaman açısından örneğin 4 sn ötelendiğini düşünmemiz gerekebilir. tabii nereye göre t=0 noktasına göre. bu durumda birim basamak fonksiyonunu şu şekilde göstermemiz gerekiyor;

                                                                                      

 burada tsıfır değerimiz 4 olacak tabi, yukarıda verdiğimiz örnek için. t-tsıfır durumu, sinyalimizin tsıfır kadar gecikme ile başladığını gösteriyor. t+tsıfır olsaydı, sinyalimizin referans noktası 0 a göre tsıfır kadar erken başladığını gösterecekti.  önce tsıfır kadar gecikme de birim basamak fonksiyonunun nasıl gösterildiğini görelim ondan sonra tsıfırdan önce ki görümüne bakalım; ve matematiksel ifadesini görelim;

                                                                                             

                                                                                 

                                                                           

  Bir örnek yapalım. Aşağıda ki şekilde bir devre resmedilmiştir. Devrede ki anahtar t=T anına kadar açık olup, t=T anında kapatılmaktadır. Bu durumda ne olacak? Devreden T anından sonra akım akmaya başlayacaktır. Çıkış gerilimi Vout u birim basamak cinsinden gösterelim.

                                                                                               

  Şimdi burada t>T anından sonra ise anahtar kapandığı için devreden akım akacak ve birim basamak fonksiyonu 1 değerini alacaktır. yani Vout matematiksel olarak;

                                                                                                       

 biçiminde olur. Birim basamak fonksiyonunun değeri 1 olduğu için Vs ile çarpmamız sonucu değiştirmez sadece olayı zaman açısından açıklar. Bu örnekteki birim basamak fınksiyonu;

                                                                                         

  Birde şekil olarak birim basamak fonksiyonu başka nasıl durumlarda olabilir onların şekillerini ve hemen altlarında matematiksel gösterimlerini verelim;

                                                                  

   Hani hep karşılaşırız işte haberleşmede 1 ve 0 ları kullanırız diye. Bu 1 leri kare darbelerle gösteririz. İşte bu darbeleride birim basamak fonksiyonları ile elde edebiliriz. Mesela şu şekli inceleyelim;

                                                                     

  Şeklin a sında  haberleşmede kullanılan 1 bitini görmekteyiz. İşte bu biri elde etmek için b ve c deki birim basamak fonksiyonlarını toplarız. Matematiksel olarak gösterimi ise şu biçimdedir;

                                                                                                                      

    Birim basamak fonksiyonu bir devredeki gerilim veya akım kaynaklarının anlık uygulamarını göstermek için uygun bir metoddur. Mesela bir devreye t=0 anında 24V luk bir gerilim verirsek biçiminde gösteririz. Ya da diyelimki t=tsıfır anında V=Vm*coswt lik bir alternatif gerilim uyguluyoruz. Bu durumu ise  biçiminde birim basamak fonksiyonu cinsinden yazabilirsiniz.

  Son olarak bir soru çözelim. Örneğin aşağıdaki şekilde verilen sinyali birim basamak cinsinden gösterelim.

                                                                

   Öncelikle sinyali 3 parçaya böleceğiz. Zaman ekseninde 0 ile 1 aralığı, 1 ile 2 aralığı, 2 ile 3 aralığına bakalım. Bu aralıkları almamızın sebebi sinyalin bu aralıklarda sabit olması. Demek istediğim mesela 0 ile 1/2 aralığı ve 1/2 ile 1 aralığında sinyal aynıdır. Dolayısıyla 0 ile 1 aralığını alıyoruz. Diğer aralıklar içinde aynı şekilde düşünün. Öncelikle 0-1 aralığını ele alalım. Bu aralıkta ki doğrunun denklemi 2t+1 dir. Birim basamak fonksiyonu cinsinden ise şöyle düşünün;

                                                                 

  Gördüğünüz gibi 0-1 aralığını iki birim basamak fonksiyonu cinsinden gösterip doğrunun denklemi ile çarptığımızda 0-1 aralığının matematiksel gösterimini elde ediyoruz. Diğer 2 aralığın gösterimini size bırakıyorum. Yapamazsanız bir mail kadar uzağınızdayım biliyorsunuz. Bu sinyalin birim basamak cinsinden gösterimi şu şekilde olacak;

                                                                  

   Bir dahamki yazımda birim dürtü fonksiyonuna değineceğim. Kendinize iyi bakın,hoşçakalın.

  Kaynak: Signals and Systems with Matlab Applications Steven T. Karris