Matris,Determinant ve Matlab

             Merhaba Arkadaşlar,

       Bu yazımda matematiksel modellerin olmazsa olmazı matrisler ve determinantlar için Matlab ı nasıl kullanabiliriz sorusuna cevap arayacağız. Daha önce matrislere kısaca değinmiştik. Tabiiki yeterli değil dolayısıyla olayı biraz açalım.

     Bir A isimli matrisi genel olarak şu şekilde gösterebiliriz;

Matris elemanları lerin i si satır sırasını ve j sütun sırasını göstermektedir. Bir matrisin boyutunu oluşturan değerler satır ve sütun sayısıdır. Örneğin 3 satır 4 sütundan oluşan bir matris (3x4) şeklinde gösterilir. Ayrıca satır sayısı sütun sayısına eşit olan bir matrise ise kare matris denir. Örneğin (3x3) boyutunda bir matris kare matristir. Bir matris içerisinde birden fazla diagonal elemanlar olabilir. Ancak ana diagonal elemanlar i=j durumundaki matris elemanlarıdır.     Örneğin gene (3x3) bir matrisin ana diagonal elemanları  elemanlarıdır. Bu arada bir matrisin diagonal elemanlarının toplamı o matrisin "trace" i oluyormuş. Bunu ilk defa duydum, ne ifade eder, öğrenir öğrenmez paylaşcam ya da varsa bilen yorum yazsın tartışalım. Neyse, devam edelim.

    Matrislerle toplama ve çıkarma yapabilmemiz için bu işlemlerin yapılacağı matrislerin satır sayıları ve sütün sayıları birbirlerine eşit olmalıdır. Yani bir matris (mxn) şeklindeyse diğer matriste (mxn) şeklinde olmak zorundadır.  İlave olarak iki matris toplanır ya da çıkarılırken bu işlem her matrisin aynı satırda ve aynı sütunda ki  elemanları arasında yapılır. Örnek;

                                                 

Matlabda gerçekleştirelim;

                                                         

Bir matrisi bir skalerle ya da sabit değerle çarparsak matrisin her bir elemanını sabit değerle teker teker çarpar ve gene aynı boyutta matriste aynı yere yazarız. Örneğin mxn boyutlu bir matrisi a değeri ile çarpıyorsak 1. satır ve 1. sütunda ki elemanla a değerini çarparız ve sonucu, sonuç matrisinin 1. satır ve 1. sutununa yazarız. Unutmayalım ki skaler ile çarpımda matris boyutu değişmez gene (mxn) kalır. Matlab;

                                                                                 

Aynı şekilde bir matrisi kompleks sayı ile çarpsanız yukarıda ki prosedür aynen geçerli olacaktır. Komplekste olsa sonuçta o da sabit bir değerdir. 

   Bir kare matrisin ana diagonal elemanları dışında bütün elemanları 0 ise bu matrise diagonal matris denir. Aşağıda diagonal matris örneği görülmektedir. Şimdi üstten üçgen görünümlü, alttan üçgen görünümlü matrisler varmış bende yeni öğrendim bunlara hiç bulaşmıyoruz sevgili arkadaşlar, lazım gelirse döner bakarız.

                                                       

    Peki bir matris hem diagonal se hem de bu diagonal elemanlar birbirine eşit değerler almışsa bu matrise ne denir? Cevap skaler matris denir. Dünya gözüyle şöyle bir skaler matris görelim.

                                                                 

  Ayrıca bu skaler matrisin diagonal elemanları 1 değerini almışsa bu matrisede birim matris denmektedir. Aşağıda 2x2 3x3 ve 4x4 lük birim matrisler bulunmaktadır. Bakınız derim.

                                              

   Matlab da bu skaler birim matrisleri üretmek için eye(n) fonksiyonunu kullanırız. Burada n, matrisin boyutunu gösterir. Örneğin eye(3) fonksiyonu 3x3 lük skaler birim matris üretir. Görelim;

                                                                                

  Matlabda güzel bir fonsiyonumuz daha var o da size() fonksiyonu. Bu fonksiyonun içine herhangi bir dizinin ya da matrisin ismini yazarsanız sonuç olarak size sırasıyla satır ve sütun sayısını verir. A bir dizi ise 1 satırlı olacaktır ve diyelimki n uzunluklu olsun. Bu durumda size(A) fonksiyonunun çıktısı 1 n dir. A bir matris ise ve mxn boyutlu ise size(A) fonksiyonunun çıktısı m n şeklindedir. Görelim;

                                                                                 

 Peki size() ve eye() fonksiyonlarını beraber kullanalım.

                                                                   

    Öncelikle şunu belirtelim. Matlab içiçe fonksiyonları en içteki fonksiyondan başlayarak çalıştırır. Dolayısıyla üstteki durumda öncelikle size() komutuyla A kare matrisinin satır sütun sayısını belirler ve daha sonra skaler diagonal birim :)) matrisi oluşturmak için eye() komutunu çalıştırır. Eğer A kare matris olmasaydı yani satır ve sütun sayısı birbirine eşit olmasaydı ne olurdu? Deneyin ve görün! hah!

     Şimdilik bu kadar arkadaşlar! Bir sonraki yazımda görüşürük. Bu arada sorularınızı mail adresime ya da yorum kısmına bırakabilirsiniz. Biliyorsak yanıtlarız, bilmiyorsak araştırırız. Haydi ciaooo!

    Kaynak: Signals and Systems with Matlab Applications Steven T. Karris