Haberlesme sistemlerine teorik bir yaklasim: Matris,Determinant ve Matlab 2

Herkese Merhaba,

En son kaldığımız yerden devam edelim. Daha önce Matlab da transpose almayı göstermiştim. Transpose unu alacağımız matrisi transpose() komutunun içine yazıp enter tuşuna basıyorduk. Ama başka bir yolu da var. Apostrof (') karakterini matrisin sonuna eklersek gene aynı sonucu elde ederiz. Deneyelim,

gördüğünüz gibi gayette transpose alıyor. Bu arada kağıt kalemle işlem yaparkene diyelim ki matrisimiz A ise transpose unu

şeklinde gösteriyoruz. Burada sizi uyarmak istediğim bir konu var. Kompleks sayılardan oluşan bir matrisin apostrof ile transpose unu aldığınızda aynı zamanda eşleniğini de alıyor haberiniz olsun. Transpose bir matriste satırların ve sütunların yerini değiştir. Dolayısıyla elemanların da yeri değişir. Gene güzel tanımlarımız var. Mesela bir matrisin transpose u kendisine eşitse bu durumda bu matrise simetrik matris denir. Şöyleki;

A bir simetrik matristir, çünkü matrisin kendisi transpose una eşittir. Bir matrisin içinde kompleks sayılar bulunabilir ve dolayısıyla kompleks sayıların eşleniklerini almak isteyebiliriz. Bu durumda matrisin eşleniğini de almak lazım gelebilir. Onuda daha önce bahsettiğimiz conj() fonksiyonu ile yapacağız. Bunu da görelim;

Gene A isimli bir matrisin transpose unu aldığınız da -A elde ediyorsanız o zaman da bu matrisin çarpık simetrik olduğunu iddaa edebiliriz. Mesela şu aşağıda ki matris çarpık simetriktir.

Şimdi diyelim ki bir A matrisinin önce transpose unu daha sonra eşleniğini aldığımızda tekrar kendisine eşit oluyorsa o zaman bu A matrisine Hermitian diyoruz. İşte ben bu Hermitian ı seviyorum. Kimdir acep kendisi? Neyse, şimdi Matlab da bir Hermitian matrisini benzetelim.

Eğer A matrisimiz kare matrisse ve transpose unun eşleniği kendisine değilde -A ya eşit oluyorsa bu A matrisine de çarpık Hermitian diyoruz, bu da akllınızda bulunsun.

Gelelim determinant kavramına. Öncelikle bir matrisin determinant ı nasıl alınır bunu gösterelim. Diyelimki matrisimiz 2x2 bir kare matris. Bu durumda ilk satır ve ilk sütunun ilk elemanıyla 2. satır ve 2. sütunun 2. elemanını çarparız sonuç x olsun, daha sonra ilk satırın 2. elamanı yani 2. sütunun il elemanı ile 2. satırın ilk elemanı yani ilk sütunun 2. elamanını çarparız sonuç y olsun, x-y bu matirisin determinantını verir. Tabii her zaman işler yolunda gitmez, hayat sürprizlerle doludur. Bir bakarsınız karşınızda 3x3 lük matris var. O zaman da şöle yaparsınız;

Arkadaşlar anlaşılmamış olabilir ayrıca her zaman 3x3 lük bir matris gelmez karşınıza, dolayısıyla ben size hemen alıntı yaptığım kitabımdan printscreen-paste-cut-paste yaparak nxn bir kare matrisin determinantını vereyim bir de daha açıklamalı bir örnek vereyim. Sonra matlabda nasıl determinant alırız onu görelim.

Tabii kağıt kalemle sınava girmediyseniz bu kadar hammallığa gerenk yok demi arkadaşlar. Hemen Matlab ımızı açıp det() fonksiyonumuzu kullanıyoruz. Nasıl mı, görelim;

gördüğünüz gibi çok basit. Bu arada determinantını aldığınız nxn kare matrisin determinantının derecesi n oluyormuş. Bu da öle dursun bi kenarda. En azından birçoğunuzun duyduğu kramer kuralına da gerek var diye düşünüyorum. Bir hatırlayalım kramer kuralı neydi? Diyelim ki 3 adet denklemimiz olsun, şu formda;

Bu üç denklemde x,y ve z bilinmeyenlerini elde edeceğiz diyelimki. İşte bunu yapmak için kramer kuralına başvuracağız. x,y ve z yi bulmak için önce şunları bulmamız gerekiyor;

daha sonrasında ise;

şeklinde x,y ve z yi bulabiliriz. Hatırlamamız gereken, Kramer kuralını 2 veya daha fazla eşitlik için uygulayabiliriz. Bir örnekle pekiştirelim.

Yukarıdaki 3 eşitlikte v1,v2 ve v3 bilinmeyen değerlerdir. Bunları hesaplamak için önce Δ,D1,D2 ve D3 matrislerimizi oluşturalım. Daha sonra ise bu 4 matrisin determinantını bulacağız ve üstteki x,y ve z eşitliklerini kullanarak bilinmeyen x,y,z değerlerimizi bulacağız.